1 母公式
1.1 欧拉公式
\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x. \]
证明
把复指数函数定义为幂级数
\[ e^z:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!},\qquad z\in\mathbb{C}. \]
这一定义在整个复平面上都收敛。
取\(z=ix\)，则
\[ e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}. \]
分离奇偶次幂：
\[ e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}. \]
利用
\[ (i)^{2n}=(-1)^n,\qquad (i)^{2n+1}=i(-1)^n, \]
得
\[ e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}. \]
而这正是
\[ \cos x+i\sin x. \]
故
\[ \boxed{e^{ix}=\cos x+i\sin x}. \]
证毕。
2 三角公式推导
2.1 加法公式
对于任意 \(x,y \in \mathbb{R}\)，成立
\[ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y, \]
\[ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y. \]
证明
由指数法则，
\[ e^{i(x+y)} = e^{ix} e^{iy}. \]
将两边分别用欧拉公式展开：
\[ \cos(x+y) + i \sin(x+y) = (\cos x + i \sin x)(\cos y + i \sin y). \]
右侧展开为
\[ \cos x \cos y - \sin x \sin y \;+\; i(\sin x \cos y + \cos x \sin y). \]
比较实部与虚部，得到
\[ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y, \]
\[ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y. \]
证毕。
2.2 差角公式
将（2.1 加法公式）中的 \(y\) 替换为 \(-y\) 可得
\[ \cos(x-y) = \cos x \cos (-y) - \sin x \sin (-y), \]
\[ \sin(x-y) = \sin x \cos (-y) + \cos x \sin (-y). \]
由（3.1 奇偶性）可得
\[ \cos(-y) = \cos y, \qquad \sin(-y) = -\sin y. \]
于是得到
\[ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y, \]
\[ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y. \]
3. 奇偶性与周期性
3.1 奇偶性
成立
\[ \cos(-x) = \cos x, \qquad \sin(-x) = -\sin x. \]
证明
由欧拉公式可得，
\[ e^{-ix} = e^{i(-x)} = \cos(-x) + i \sin(-x). \]
另一方面，由共轭可得
\[ e^{-ix} = \overline{e^{ix}} = \cos x - i \sin x. \]
比较实部与虚部，得到
\[ \cos(-x) = \cos x, \qquad \sin(-x) = -\sin x. \]
证毕。
3.2 周期性
成立
\[ \cos(x+2\pi) = \cos x, \qquad \sin(x+2\pi) = \sin x. \]
证明
由指数周期性
\[ e^{i(x+2\pi)} = e^{ix} e^{i2\pi} = e^{ix} \cdot 1 = e^{ix}, \]
于是
\[ \cos(x+2\pi) + i \sin(x+2\pi) = \cos x + i \sin x. \]
比较实部与虚部即得结论。证毕。
4 倍角公式
4.1 倍角公式
成立
\[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x, \]
\[ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x. \]
并且进一步有
\[ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x. \]
证明
在加法公式中令 \(y=x\)，得到
\[ \sin(2x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x = 2 \sin x \cos x, \]
\[ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x. \]
再由
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]
可得
\[ \cos^2 x - \sin^2 x = \cos^2 x - (1-\cos^2 x) = 2\cos^2 x - 1, \]
以及
\[ \cos^2 x - \sin^2 x = (1-\sin^2 x) - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x. \]
证毕。
4.2 半角公式
由（4.1 倍角公式）反解可得
\[ \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}, \]
\[ \sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}. \]
所以半角公式本质上不是新的知识，而是倍角公式的代数变形。
5 倍角公式
5.1 棣莫弗定理
对任意整数 \(n \in \mathbb{Z}\)，成立
\[ (\cos x + i \sin x)^n = \cos(nx) + i \sin(nx). \]
证明
由欧拉公式，
\[ \cos x + i \sin x = e^{ix}. \]
两边取 \(n\) 次幂：
\[ (\cos x + i \sin x)^n = (e^{ix})^n = e^{inx}. \]
再应用欧拉公式：
\[ e^{inx} = \cos(nx) + i \sin(nx). \]
证毕。
5.2 三倍角公式
取 \(n=3\)，则
\[ (\cos x + i \sin x)^3 = \cos 3x + i \sin 3x. \]
左侧展开：
\[ (\cos x + i \sin x)^3 = \cos^3 x + 3i\cos^2 x \sin x - 3\cos x \sin^2 x - i\sin^3 x. \]
比较实部与虚部，得到
\[ \cos 3x = \cos^3 x - 3\cos x \sin^2 x = 4\cos^3 x - 3\cos x, \]
\[ \sin 3x = 3\cos^2 x \sin x - \sin^3 x = 3\sin x - 4\sin^3 x. \]
6. 平方和
6.1基本恒等式
成立
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1. \]
证明
由
\[ e^{ix} e^{-ix} = 1, \]
且
\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x, \qquad e^{-ix} = \cos x - i \sin x, \]
故
\[ (\cos x + i \sin x)(\cos x - i \sin x) = 1. \]
展开得
\[ \cos^2 x + \sin^2 x = 1. \]
证毕。
7 积化和差
7.1 指数表示
\[ \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \qquad \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}. \]
证明
由
\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x, \qquad e^{-ix} = \cos x - i \sin x, \]
两式相加得
\[ e^{ix} + e^{-ix} = 2\cos x, \]
故
\[ \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}. \]
两式相减得
\[ e^{ix} - e^{-ix} = 2i\sin x, \]
故
\[ \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}. \]
证毕。
7.2 积化和差
(1) \(\cos x \cos y\)
\[ \cos x \cos y = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \cdot \frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2}. \]
展开得
\[ \cos x \cos y = \frac{ e^{i(x+y)} + e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)} + e^{-i(x+y)} }{4}. \]
整理为
\[ \cos x \cos y = \frac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{2}. \]
(2) \(\sin x \sin y\)
同理可得
\[ \sin x \sin y = \frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}. \]
(3) \(\sin x \cos y\)
同理可得
\[ \sin x \cos y = \frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}. \]
8. 正切公式
8.1 正切加法公式
若分母不为零，则
\[ \tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}. \]
证明
由定义
\[ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t}, \]
于是
\[ \tan(x+y) = \frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)}. \]
代入加法公式得
\[ \tan(x+y) = \frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\cos x \cos y - \sin x \sin y}. \]
分子分母同除以 \(\cos x \cos y\)，得到
\[ \tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}. \]
证毕。
9 总结
常见三角恒等式中的绝大多数，都可以由以下三条生成：
\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x, \]
\[ e^{i(x+y)} = e^{ix} e^{iy}, \]
\[ e^{-ix} = \overline{e^{ix}}. \]
解析
- 由乘法法则 \(e^{i(x+y)} = e^{ix}e^{iy}\)，可推出加法与差角公式；
- 由共轭关系 \(e^{-ix} = \overline{e^{ix}}\)，可推出奇偶性；
- 由 \(e^{i2\pi}=1\)，可推出周期性；
- 由 \((e^{ix})^n = e^{inx}\)，可推出倍角、三倍角与 \(n\) 倍角公式；
- 由 \[ \cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, \qquad \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}, \] 可推出积化和差；
- 由 \(\tan x = \sin x / \cos x\)，可推出正切公式。
故大量三角公式都可视为一个统一结构的派生物，而不必逐条孤立记忆。
